2020天津中考数学 (2020天津卷数学)

试卷

1. 一元一次方程组
2. 一次函数
3. 二次函数
4. 相似三角形
5. 圆
6. 立体几何
7. 数据处理

试题

一元一次方程组

设一元一次方程组$$\begin{cases}2x+y=5\\\x-y=-1\end{cases}$$求解该方程组。

解答：

由第二个方程可得$$x=-1+y$$代入第一个方程，得$$2(-1+y)+y=5$$$$-2+2y+y=5$$$$3y=7$$$$y=\frac{7}{3}$$再代入第二个方程，得$$\begin{split}x&=-1+y\\\x&=-1+\frac{7}{3}\\\x&=\frac{4}{3}\end{split}$$

一次函数

已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,5)，且与x轴交于点(6,0)，求此函数的解析式。

解答：

因为图象经过点(3,5)，所以$$5=3k+b$$又因为图象与x轴交于点(6,0)，所以$$0=6k+b$$联立方程组求解，得$$k=-\frac{5}{3},b=5$$所以函数的解析式为$$y=-\frac{5}{3}x+5$$

二次函数

已知二次函数y=ax ² +bx+c (a≠0)的图象是一个抛物线，且顶点坐标为(2,-3)，对称轴为x=2，求此函数的表达式。

解答：

因为对称轴为x=2，所以$$a=1$$又因为顶点坐标为(2,-3)，所以$$\begin{split}b&=2a\\\c&=-3\end{split}$$所以函数的表达式为$$y=x^2+2x-3$$

相似三角形

如图，在△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中线，且CD⊥AB，已知BC=6，CD=4，求∠B的大小。

解答：

根据勾股定理，有$$AD^2+CD^2=AC^2$$又因为CD⊥AB，所以$$CD^2=AC\cdot DB$$又因为△ACD∽△BCD，所以$$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{DB}$$代入以上三个式子，得$$\frac{AC}{AD}=\frac{AC}{2CD}=\frac{AC}{6}$$$$AC=\frac{1}{6}(AD^2+CD^2)$$又因为∠C=90°，所以$$sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{6}\cdot\frac{AD^2+CD^2}{BC}$$$$\Rightarrow sinB=\frac{1}{6}\cdot\frac{20}{6}=$$$$\Rightarrow ∠B=sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=19.47°$$

圆

已知圆O的直径AB=10，点C在圆O上，且∠ACB=30°，求线段AC的长。

解答：

因为∠ACB=30°，所以$$AC=OC\cdot sin30°=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}\cdot5=2.5$$

立体几何