2020天津卷数学 (2020天津高考英语)

例1

如图所示，在长为40厘米，宽为20厘米的长方形ABCD中，A点与D点被折叠，使A点与D点重合，得到一个新的图形，记为A'D'BC，新图形A'D'BC的面积是多少？

解答：

新图形A'D'BC是一个梯形，它的底边是20厘米，上底边是20厘米，高是40厘米，所以它的面积是： S = (20 + 20)× 40 / 2 = 800 平方厘米

例2

在四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，AB = 4，侧棱AD = 3，侧面ABD是的等腰三角形，求此四棱锥的体积。

解答：

底面的边长为4厘米，所以底面积为： S = 4 × 4 = 16 平方厘米

侧棱AD和AB构成的角平分线经过点D，垂足为点E，则DE是三角形ABD中底边的一半，即DE = 2厘米。

由勾股定理得： AE² = AD² - DE² = 3² - 2² = 5 所以AE = √5厘米

侧棱AD和AB构成的角平分线是底面对角线的一半，所以AD' = √5厘米。

因此，四棱锥ABCD的体积为： V = 1/3 × S × AD' = 1/3 × 16 × √5 = 8√5 立方厘米

例3

已知函数f(x) = x³ - 3x + 1，求函数f(x)在[-1, 1]上的最值。

解答：

求函数f(x)的导数： f'(x) = 3x² - 3

令f'(x) = 0，求得x = ±1。

在[-1, 1]上，函数f(x)有三个关键点：x = -1，x = 0，x = 1。

计算这些关键点处的函数值： f(-1) = 3 f(0) = 1 f(1) = 1

因此，函数f(x)在[-1, 1]上的最大值为3，最小值为1。

例4

已知圆O的半径为2，点P在圆O上，过点P作圆外一点A到圆O的切线，切点为M，过点A作圆的割线AB，交圆于B点，连接BP。

解答：

(1) 求证：∠BPM = ∠ABP。

因为AM是圆O的切线，所以∠APM = 90°。又因为∠ABP和∠BPM都是圆周角，所以它们都等于∠APM的一半，即： ∠ABP = ∠BPM = 45°

(2) 求证：BP = AM。

在直角三角形APM中，根据勾股定理得： AP² = AM² + MP²

因为AP = 2，MP = 2，所以AM² = 2² - 2² = 0，因此AM = 0。所以BP = AM。

(3) 求AB的长。

在直角三角形AMB中，根据勾股定理得： AB² = AM² + MB²

因为AM = BP = 2，所以AB² = 2² + 2² = 8，因此AB = 2√2。